Начал заниматься футболом в 2001 году в школе боснийского клуба «Борац» из своего родного города Баня-Лука, а в августе 2011 года, в возрасте 15 лет, присоединился к молодёжной команде «Воеводины». С ранних лет считался большим талантом. Дебютировал за основной состав клуба в чемпионате Сербии 1 марта 2014 года в матче 17-го тура против «Вождоваца» (2:0), проведя на поле весь матч. Первый мяч за «Воеводину» забил 7 мая 2014 года в матче финала Кубка Сербии против «Ягодины» (2:0), отличившись на 52-й минуте встречи, тем самым вместе с клубом выиграл трофей. Для «Воеводины» это стал первый трофей после распада Югославии и был завоёван в год столетия клуба. В своём дебютном сезоне на профессиональном уровне Бабич провёл во всех турнирах 11 матчей и забил один мяч. 17 июля 2014 года дебютировал в еврокубках, сыграв в матче 2-го квалификационного рауда Лиги Европы УЕФА против словацкого клуба «Тренчин» (0:4), проведя на поле весь матч. Летом 2014 года сорвался переход Бабича в «Сампдорию», а в январе 2015 года он попал в сферу интересов «Барселоны» и «Челси». В сезоне 2014/15 провёл 27 матчей во всех турнирах. Всего за «Воеводину» выступал с 2014 по 2015 год, проведя 38 матчей во всех турнирах и забив один мяч.

8 июля 2015 года перешёл в испанский клуб «Реал Сосьедад», подписав контракт на четыре года. Бабич начал выступать за фарм-клуб «Реал Сосьедад B» в Сегунде B, третьем по силе дивизионе Испании. Дебютировал за вторую команду «Реал Сосьедада» 23 августа 2015 года в матче 1-го тура Сегунды B против клуба «Ла-Рода» (2:0), проведя на поле весь матч. Первый мяч за клуб забил 1 ноября 2015 года в матче 11-го тура Сегунды B против «Сокуэльямоса» (2:1), отличившись на 51-й минуте встречи. Всего в сезоне 2015/16 провёл 31 матч и забил три мяча.

31 августа 2016 года был отдан в аренду в клуб «Реус Депортиу» до 30 июня 2017 года, выступающим в Сегунде. Дебютировал за клуб 7 сентября 2016 года в матче второго отборочного раунда Кубка Испании против «Мальорки» (0:1), проведя на поле весь матч. Впервые в Сегунде сыграл 6 ноября 2016 года в матче 13-го тура против «Леванте» (0:1), проведя на поле весь матч. Первый мяч за «Реус Депортиу» забил 4 декабря 2016 года в матче 17-го тура Сегунды в ворота «Кордовы» (1:2), отличившись на 84-й минуте встречи. Всего в сезоне 2016/17 провёл за клуб во всех турнирах 12 матчей и забил один мяч.

7 июля 2017 года перешёл на правах аренды в «Црвену звезду», подписав соглашение до конца сезона 2017/18. Дебютировал за клуб 30 июля 2017 года в матче 2-го тура чемпионата Сербии против клуба «Рад» (2:0), проведя на поле весь матч. 5 февраля 2018 года «Црвена звезда» объявила о выкупе контракта Бабича у «Реала Сосьедада» за 800 000 евро. 9 февраля 2018 года заключил четырёхлетний контракт с клубом. Первый мяч за «Црвену звезду» забил 1 апреля 2018 года в матче 29-го тура чемпионата Сербии в ворота лучанинской «Младости» (5:2), отличившись на 44-й минуте встречи. Всего в сезоне 2017/18 провёл за клуб во всех турнирах 30 матчей и забил один мяч, а также стал чемпионом Сербии. 11 июля 2018 года впервые сыграл в Лиге чемпионов, проведя на поле весь матч первого квалификационного рауда против юрмальского «Спартака» (0:0). По итогам сезона 2018/19 второй раз подряд вместе с «Црвеной звездой» стал чемпионом страны, отыграв 32 матча во всех турнирах и забив три мяча. В сезоне 2019/20 провёл во всех турнирах 17 матчей, забил три мяча и вновь выиграл чемпионат Сербии.

31 августа 2020 года был арендован португальским клубом «Фамаликан» до конца сезона 2020/21, выступающим в Примейра-лиге, с правом выкупа трансфера за 1 100 000 евро. Дебютировал за клуб 18 сентября 2020 года в матче 1-го тура чемпионата Португалии против лиссабонской «Бенфики» (1:5), проведя на поле весь матч. Первый мяч за «Фамаликан» забил 7 ноября 2020 года в матче 7-го тура чемпионата Португалии против «Маритиму» (2:1), отличившись на 28-й минуте встречи с передачи Ивана Хайме. Всего за клуб провёл во всех турнирах 29 матчей и забил один мяч, после завершения арендного соглашения вернулся в «Црвену звезду». Сезон 2021/22 начал в составе сербского клуба, проведя три матча. Всего за «Црвену звезду» выступал с 2017 по 2022 год, провёл за клуб во всех турнирах 82 матча и забил семь мячей.

30 августа 2021 года перешёл на правах аренды в испанский клуб «Альмерия» до конца сезона 2021/22, выступающий в Сегунде, с правом выкупа трансфера. Дебютировал за клуб 12 сентября 2021 года в матче 5-го тура Сегунды против клуба «Понферрадина» (0:1), проведя на поле весь матч. Первый мяч за «Альмерию» забил 7 мая 2022 года в матче 29-го тура Сегунды против клуба «Аморебьета» (3:0), отличившись на 75-й минуте. Всего в сезоне 2021/22 провёл за клуб во всех турнирах 40 матчей и забил один мяч, вместе с «Альмерией» стал победителем Сегунды и помог клубу выйти в Ла Лигу. Бабич стал вторым игроком в команде, отыгравшим больше всего минут в чемпионате. По итогам сезона 2021/22, Бабич вошёл в символическую сборную Сегунды. 5 июня 2022 года «Альмерия» объявила о выкупе Бабича у «Црвены звезды» за 1 100 000 евро и заключила с ним контракт до июня 2026 года. В чемпионате Испании впервые сыграл 14 августа 2022 года в матче 1-го тура против «Реал Мадрида» (1:2), проведя на поле весь матч. Первый мяч в Ла Лиге забил 8 октября 2022 года в матче 8-го тура против «Райо Вальекано», отличившись на 17-й минуте. В сезоне 2022/23 провёл за «Альмерию» 34 матча и забил три мяча.

21 августа 2023 года перешел в московский "Спартак". Соглашение рассчитано на 3 года. Московский клуб заплатил за трансфер сербского защитника около € 5 млн, а зарплата Бабича в «Спартаке» составит € 1,5 млн в год.

Бабича приглашали выступать за сборные Боснии и Герцеговины, но он отказывался, так как его мечта была «оказаться в футболке любимой страны». Вызывался в юношеские сборные Сербии разных возрастов. С 2012 по 2013 года вызывался в сборную Сербии до 17 лет, в 2013 году также провёл один матч за команду до 18 лет. С 2013 по 2015 год Бабич представлял сборную Сербии до 19 лет, вместе с которой принимал участие на чемпионате Европы среди юношей до 19 лет 2014 года, где дошёл вместе с командой до полуфинала. С 2014 по 2015 год выступал за сборную Сербии до 20 лет, с которой выиграл чемпионат мира по футболу 2015 года среди юношей до 20 лет. С 2015 по 2019 год представлял молодёжную сборную Сербии, вместе с которой участвовал на чемпионате Европы среди молодёжных команд 2019 года.

В сентября 2022 года был впервые вызван Драганом Стойковичем в национальную сборную Сербии. Дебютировал за сборную 24 сентября 2022 года в матче Лиги наций УЕФА против сборной Швеции (4:1), проведя на поле весь матч. 11 ноября 2022 года был включён в состав сборной Сербии на чемпионат мира по футболу 2022 года в Катаре. На турнире провёл один матч, сыграв 28 ноября 2022 года во встрече 2-го тура группового этапа против сборной Камеруна (3:3), выйдя на замену на 78-й минуте вместо Милоша Вельковича.

Обладатель Кубка Сербии: 2013/14

Чемпион Сербии (3): 2017/18, 2018/19, 2019/20

Финалист Кубка Сербии: 2018/19

Победитель Сегунды: 2021/22

Победитель молодёжного чемпионата мира: 2015

Вхождение в символическую сборную сезона в Сегунде: 2021/22

Медаль «За заслуги перед народом» (2015) — за достижения в области спорта и завоевание титула молодёжного чемпиона мира